\section{符号动力系统与编码}
本小节中, 我们考虑$m \geq 2$个符号的状态空间$\{0, \dotsc, m - 1\}$并赋以离散拓扑.
进而考虑符号空间
\[
\Omega_m = \setm^\N
\]
与
\[
\tilOm_m = \setm^\Z,
\]
并赋以乘积拓扑.

回顾一下乘积拓扑的意义.
对于$n \in \N$, 考虑坐标映射$\pi_n \colon \Omega_m \to \setm $, $(\omega_n)_{n \in \N} \mapsto \omega_n$.
同样的, 对于$n \in \Z$, 考虑$\pi_n \colon \tilOm_m \to \setm$.
相对于乘积拓扑, 所有的$\pi_n$都连续, 且乘积拓扑是让$\pi_n$都连续的最小的拓扑.
特别的对于任意拓扑空间$X$, 一个映射$f \colon X \to \Omega_m$连续当且仅当对于所有$n \in \N$, $\pi_n \circ f$连续.
注意到, 根据Tychonoff定理, $\Omega_m$与$\tilOm_m$为紧致空间.

在符号空间上定义转移映射
\[
\sigma_m \colon \left\{
\begin{array}{ccc}
\Omega_m & \to & \Omega_m \\
(\omega_n)_{n \in \N} & \mapsto & (\omega_{n+1})_{n \in \N}
\end{array}
\right.
\]
以及
\[
\tilde\sigma_m \colon \left\{
\begin{array}{ccc}
\tilOm_m & \to & \tilOm_m \\
(\omega_n)_{n \in \Z} & \mapsto & (\omega_{n+1})_{n \in \Z}
\end{array}
\right.
\]
观察到
\[
\forall n \in \N,\quad \pi_n \circ \sigma_m = \pi_{n+1},
\]
以及
\[
\forall n \in \Z,\quad \pi_n \circ \tilde\sigma_m = \pi_{n+1}.
\]
由上面关于乘积拓扑的刻画, 知$\sigma_m$与$\tilde\sigma_m$均为连续映射.

可以注意到, $\tilde\sigma$可逆, 然而$\sigma$不可逆, 满射且$m$对一.
\begin{ex}[记号$\tilOm_m$的解释]
证明自然投射
\[
\pi_\N \colon \left\{
\begin{array}{ccc}
\tilOm_m & \to & \Omega_m \\
(\omega_n)_{n \in \Z} & \mapsto & (\omega_n)_{n \in \N}
\end{array}
\right.
\]
是一个半共轭且满足如下万有性质：
对于任意可逆扩展$\phi \colon (X,f) \to \Omega_m$, 都存在唯一半共轭$\tilde\phi \colon (X,f) \to \tilOm_m$使得$\phi = \pi_\N \circ \tilde\phi$.
\end{ex}

\begin{defn}
我们将拓扑动力系统$(\Omega_m, \sigma_m)$或$(\tilOm_m, \tilde\sigma_m)$的子系统称为符号动力系统.
\end{defn}
\subsection{性质}
\begin{prop}
对任意$m\geq 2$, 符号系统$(\tilOm_m, \tilde\sigma_m)$拓扑（强）混合, 即,
对于任意非空开集$U,V \in \tilOm_m$, 存在正整数$N \geq 1$使得
\[
\forall n \geq N,\quad \tilde\sigma_m^n(U) \cap V \neq \varnothing.
\]
因此, $(\Omega_m,\sigma_m)$也是拓扑混合的.
\end{prop}

\begin{prop}
在$(\Omega_m,\sigma_m)$或$(\tilOm_m, \tilde\sigma_m)$中, 周期点构成稠密的子集.
\end{prop}
记号：对于动力系统$(X,f)$, 我们将周期为$p \geq 1$的周期点记为$\Per_p(f)$.
全体周期点的集合记为$\Per(f)$.

\begin{prop}
记$\sigma = \sigma_2$.
存在不可数子集$Y \subset \Omega_2$, 满足
\begin{enumerate}
\item $\sigma (Y) \subset Y$.
\item $\forall \omega \neq \omega' \in Y$, $\limsup_{n \to +\infty} d(\sigma^n\omega, \sigma^n \omega') > 0$.
\item $\forall \omega, \omega' \in Y$, $\liminf_{n \to +\infty} d(\sigma^n\omega, \sigma^n \omega') = 0$.
\item $\forall \omega \in Y$, $\forall p \in \Per(\sigma)$, $\limsup_{n \to +\infty} d(\sigma^n\omega, \sigma^n p) > 0$.
\end{enumerate}
\end{prop}
这些性质通常被称作Li-Yorke混沌.
\begin{proof}
构造：令$\theta \in (0,1)$为一个参数. 我们构造$x^\theta \in \Omega_2$满足
\begin{enumerate}
\item 对于任意$n \in \N$, $x^\theta_n = 1$蕴含$n$为完全平方数.
\item 当$L \to +\infty$, 有$\frac{1}{L}\# \set{1 \leq l \leq L : x^\theta_{l^2} = 1} \to \theta$.
\end{enumerate}
比如, 可以令$x^\theta_{l^2} = \lfloor (l + 1) \theta \rfloor - \lfloor l \theta \rfloor$.

设$Y = \set{\sigma^n x^\theta : n \in \N,\, \theta \in (0,1)}$.

\end{proof}

\subsection{有限型子转移}
我介绍一类重要的符号动力系统, 有限型子转移.
设$A \in \Mat_{m \times m}({0,1})$为一个系数为$0$或$1$的$m$乘$m$的方阵.
考虑
\[
\Omega_A = \set{ (\omega_n)_{n\in \N} \in \Omega_m : \forall n \in \N, a_{\omega_n,\omega_{n+1}} = 1 }.
\]
我们记$\sigma_A = \sigma_{m|\Omega_A}$.
\begin{prop}
$(\Omega_A, \sigma_A)$是$(\Omega_m, \sigma_m)$的一个子系统.
\end{prop}
类似的, 可以构造$(\tilOm_m, \tilde\sigma_m)$的一个子系统$(\tilOm_A, \tilde\sigma_A)$.

\begin{exa}
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix},
\]
则$\Omega_A$可数.
所有轨道都收敛到一个不动点.
\end{exa}
\begin{ex}
对于正整数$p \geq 1$, 证明
\[
\# \Per_p(\sigma_A) = \tr(A^p),
\]
其中$\tr$是矩阵的迹.
\end{ex}

更一般的, 设$k \geq 1$为正整数, 设$E \subset \{0, \dotsc, m - 1\}^k$为一个子集.
考虑
\[
\Omega_E = \set{ \omega \in \Omega_m : \forall n \in \N, \, (\omega_n, \dotsc, \omega_{n+k-1}) \in E }.
\]
则$(\Omega_E, \sigma_{m|\Omega_E})$为一个子系统.
\begin{ex}
证明对于任意上述$E$, 都存在整数$m' \geq 2$与$A \in \Mat_{m' \times m'}(\{0, 1\})$使得$(\Omega_E, \sigma_{m|\Omega_E})$与$(\Omega_A, \sigma_A)$拓扑共轭.
\end{ex}

\subsection{编码与马蹄}
编码关乎如下问题：给定拓扑动力系统$(X,f)$,
如何找到与之共轭的符号动力系统？
或者,  如何找到尽可能大的与符号动力系统拓扑共轭的子系统$(\Lambda, f_{|\Lambda})$？
又或者, 如何构造尽可能单射的从一个符号动力系统到$(X,f)$的因子映射？

下面是一个重要的观察：
假设存在半共轭$\phi \colon (\Lambda, f_{|\Lambda}) \to (\Omega_m, \sigma_m)$.
考察
\[
\Delta_k = (\pi_0 \circ \phi)^{-1}(\{k\}) \subset \Lambda, \qquad k = 0, \dotsc, m - 1.
\]
它们是两两不交的闭子集, 并且对于$x \in \Lambda$, $\omega \in \Omega_m$, 有
\begin{equation}
\label{eq:coding}
\phi(x) = \omega  \quad \text{当且仅当} \quad \forall n \in \N,\quad f^n(x) \in \Delta_{\omega_n}.
\end{equation}

反过来, 选定两两不交的闭子集$\Delta_{0},\dotsc,\Delta_{m - 1} \subset X$.
令
\[
\Lambda = \setbig{x \in X \,:\, \forall n \in \N,\, f^n(x) \in \bigsqcup_{k=0}^{m-1} \Delta_k},
\]
则关系\eqref{eq:coding}定义了一个半共轭$\phi \colon \Lambda \to \Omega_m$.

\begin{exa}
令$\lambda > 2 + \sqrt{5}$, 考虑$f \colon \R \to \R$, $x \mapsto \lambda x (1 - x)$.
记$\Lambda$为拥有有界轨道的点的集合.
则$\Lambda$同时也是全体非游荡点的集合.
同时, $(\Lambda, f_{|\Lambda})$与符号系统$(\Omega_2, \sigma_2)$拓扑共轭.
\end{exa}

\begin{exa}
Smale马蹄.
\end{exa}

\begin{prop}
假设可微自映射$f \colon \R^2 \to \R^2$满足存在$m$个矩形$\Delta_0,\dotsc, \Delta_{m-1} \subset \R^2$满足
限制在每个矩形上$f_{|\Delta_k}$是仿射映射且具有如下双曲性：存在$\lambda > 1$, 对于任意$k \in \{0,\dotsc, m - 1\}$,
\[
\forall x \in \Delta_k,\quad \abs{\partial_1 f(x)} > \lambda, \;\text{ 且 }\; \abs{\partial_2 f(x)} < \lambda^{-1}.
\]
对$0 \leq k \leq m -1$, 记$\Delta^k = f(\Delta_k)$.
进一步假设对于所有$i, j \in \{0, \dotsc, m - 1\}$, 记$\Delta^i_j = \Delta^i \cap \Delta_j$, 
\begin{itemize}
\item 要么$\Delta^i_j = \varnothing$,
\item 要么$p_1(\Delta^i_j) = p_1(\Delta_j)$且$p_2(\Delta^i_j) = p_2(\Delta^i)$,
\end{itemize}
其中, $p_i \colon \R^2 \to \R$, $(x_j) \in \R \mapsto x_i$是坐标映射.

则有子系统与$(\tilOm_A, \tilde\sigma_A)$拓扑共轭, 其中矩阵$A = (a_{i,j})_{0 \leq i,j < m}$由下面关系给出
\[
\forall 0 \leq i,j < m, \quad a_{i,j} = 1 \; \text{当且仅当}\; \Delta^i_j \neq \varnothing.
\]
\end{prop}

\begin{exa}
考虑2维双曲环面同构
\[
f \colon \left\{
\begin{array}{ccc}
\T^2 & \to & \T^2 \\
(x, y) & \mapsto & (2 x + y, x + y).
\end{array}
\right.
\]
\end{exa}
